LOGIKA
MATEMATIKA DAN PENERAPANNYA
DALAM
DISIPLIN ILMU INFORMATIKA
ERIS HERIYONO
NIM.500638753
UPBJJ BANDUNG
MPMT.5103
Alamat e-mail
:smpsimpatik2@gmail.com & erisheriyono@gmail.com
JURNAL
MINGGUAN
Minggu
1:29 Januari -04 Februari 2016
ABSTRAKSI
Dalam tulisan jurnal mingguan ini,
yang merupakan tugas yang harus ditempuh
mahasiswa jurusan
Magister Pendidikan Matematika Full Online ,akan
dibahas berbagai pendapat tentang arti dan definisi
matematika menurut para ahli,juga
tentang kaitanya logika matematika ,peranan dan penerapanya
dalam disiplin ilmu lainya terutama
ilmu informatika dari logika matematika sampai pada logika fuzzy
atau logika kabur yang telah
memberi ruang baru pada perkembangan ilmu
informatika.
Kata Kunci : definisi matematika, Logika matematika, penerapan, ilmu informatika
ABSTRACTION
Writing in the weekly journal , which is
a task that must be taken by
students majoring in Master in
Mathematics Education Full Online ,
will discuss various opinions about the
meaning and definition of
mathematics , according to experts ,
about the relation of
mathematical logic , the role and
applicability in the disciplines of
others , especially the science of
informatics of mathematical logic
until the fuzzy logic or fuzzy logic
that has given a new room on the
development of informatics .
Keywords
: definition of mathematics , mathematical logic , application , science
informatics
A. Latar Belakang
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran,
struktur,
ruang,
dan perubahan.
Para matematikawan mencari berbagai pola merumuskan konjektur
baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.
Terjadi perdebatan tentang apakah objek-objek matematika
seperti bilangan
dan titik sudah ada di semesta, jadi ditemukan, atau ciptaan manusia.
Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan
simpulan-simpulan yang penting".Namun, walau matematika pada kenyataannya
sangat bermanfaat bagi kehidupan, perkembangan sains dan teknologi, sampai
upaya melestarikan alam, matematika hidup di alam gagasan, bukan di realita
atau kenyataan. Dengan tepat, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada
kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk
kepada kenyataan." Makna dari "Matematika tak merujuk kepada
kenyataan" menyampaikan pesan bahwa gagasan matematika itu ideal dan
steril atau terhindar dari pengaruh manusia. Uniknya, kebebasannya dari
kenyataan dan pengaruh manusia ini nantinya justru memungkinkan penyimpulan
pernyataan bahwa semesta ini merupakan sebuah struktur matematika, menurut Max Tegmark. Jika kita percaya bahwa realita di luar semesta ini haruslah
bebas dari pengaruh manusia, maka harus struktur matematika lah semesta itu.
Melalui penggunaan penalaran logika
dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis mewujud dalam
kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi matematika yang ketat pertama muncul di
dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides,
Elemen.
Matematika selalu berkembang, misalnya di Tiongkok
pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di
Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans,
ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru
yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika
yang berlanjut hingga kini.[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat
penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam,
teknik,
kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,
dan psikologi.
Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan
matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan
temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan
disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.
Para matematikawan
juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri.
Mereka berupaya menjawab pertanyaan-pertanyaan yang muncul di dalam pikirannya,
walaupun belum diketahui penerapannya. Namun, kenyataannya banyak sekali
gagasan matematika yang sangat abstrak dan tadinya tak diketahui relevansinya
dengan kehidupan, mendadak ditemukan penerapannya. Pengembangan matematika
(murni) dapat mendahului atau didahului kebutuhannya dalam kehidupan. Penerapan
praktis gagasan matematika yang menjadi latar munculnya matematika murni
seringkali ditemukan kemudian.
B.
Apa Logika Matematika itu ?
Logika
matematika adalah sebuah cabang matematika
yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika
akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal
paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika
adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau
salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai
pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi
, kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta
penarikan kesimpulan.
Setelah
mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi
mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di
bawah ini:
a. Pernyataan
Pernyataan di dalam logika
matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang
dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa
memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita
nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah
kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika
matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertutup dan terbuka.
Kalimat pernyataan dibagi menjadi 2 yaitu :
a.1. Pernyataan tertutup adalah
kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.
a.2. Pernyataan terbuka adalah
kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya,
perhatikan contoh berikut ini:
- 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
- 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
- Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
- Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
b. Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi
atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan,
negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar
bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang
ada di bawah ini:
Pernyataan p : Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan p : Tidak
benar bahwa becak memiliki roda tiga buah
c. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam
logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan
biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
c.1. Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua
buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang
dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang
berlaku dama sistem konjungsi:
p
|
q
|
P ^ q
|
Logika matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p
dan q adalah benar
|
B
|
S
|
S
|
Jika p benar dan q salah maka p
dan q adalah salah
|
S
|
B
|
S
|
Jika p salah dan q benar maka p
dan q adalah salah
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah
maka p dan q adalah salah
|
Dari
table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua
pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan
dianggap salah.
c.2. Disjungsi
Selain
menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat
dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'.
Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
|
q
|
P v q
|
Logika matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p
atau q adalah benar
|
B
|
S
|
B
|
Jika p benar dan q salah maka p
atau q adalah benar
|
S
|
B
|
B
|
Jika p salah dan q benar maka p
atau q adalah benar
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah
maka p atau q adalah salah
|
Karena di
dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’
artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka
logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan
akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.
d. Implikasi
Implikasi
merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan
dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p
... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:
p
|
q
|
p => q
|
Logika matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika awalnya BENAR lalu
akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
B
|
S
|
S
|
Jika awalnya BENAR lalu
akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
|
S
|
B
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya
BENAR maka dianggap BENAR
|
S
|
S
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu
akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
|
e. Biimplikasi
Di dalam
biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai
sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap
salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan
hanya jika q …..'
p
|
q
|
p ó q
|
Logika matematika
|
B
|
B
|
B
|
P adalah BENAR jika dan hanya
jika q adalah BENAR (dianggap benar)
|
B
|
S
|
S
|
P adalah BENAR jika dan hanya
jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
S
|
B
|
S
|
P adalah SALAH jika dan hanya
jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
S
|
S
|
B
|
P adalah SALAH jika dan hanya
jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
f. Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi
pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan
majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui
negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep
ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar
di bawah ini:
g. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep
ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan
implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada
gambar bawah ini:
h. Kuantor pernyataan
Pernyataan
berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep
kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor
eksistensial.
h.1. Kuantor universal
digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.
h.2. Kuantor eksistensial digunakan
dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
i. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan
berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal
adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di
bawah ini:
j. Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan
dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang
kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di
dalam logika matematika berikut ini:
C.
Peranan Logika Matematika
dalam Perkembangan Teknologi Informatika dan Komunikasi
Sifat manusia yang selalu tidak merasa puas
mendorong mereka untuk terus mendapatkan sesuatu yang terbaik, salah satunya di
bidang teknologi. Hal tersebut menuntut kita untuk lebih mengembangkan apa yang
ada di sekitar kita, termasuk mengembangkan teknologi. Di era globalisasi ini
hampir semua aktivitas manusia tidak lepas dari penggunaan teknologi. Selain
karena alasan lebih praktis, efisiensi waktu juga menjadi alasan penggunaan
teknologi dalam aktivitas manusia. Hal tersebut mendorong manusia untuk
berpikir kritis untuk melengkapi seluruh kebutuhannya.
Matematika dikenal sebagai ilmu dasar.
Pembelajaran matematika akan melatih kemampuan berpikir kritis, logis,
analitis, dan sistematis. Tetapi peran matematika tidak hanya sebatas hal
tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi
ataupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika.
Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan
teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat di
jaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika. Tetapi kemajuan ilmu fisika
itu sendiri tidak akan tercapai tanpa peran matematika dan perkembangan
matematika itu sendiri.
Dalam perkembangan teknologi informatika,
matematika memberikan sumbangsih tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di
komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika, diantaranya adalah
operasi Aljabar Boolean, teori graf, matematika diskrit, logika simbolik,
peluang dan statistika. Teknologi yang semakin berkembang ini menunjukkan
perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematika dalam mengembangkan
bidang lain.
Salah satu contohnya adalah penerapan matematika
diskrit dalam pengembangan teknologi komputer. Matematika diskrit adalah nama
lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer
teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas
komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa
batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal
paling berdaya – Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian
traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis
terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan
ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan
perangkat keras komputer.
Contoh lainnya adalah dalam perkembangan memori.
Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang
belum berbentuk biner akan dipecahkan (encoded) dengan sejumlah instruksi yang
mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka.
Selain itu matematika mengajarkan kita untuk
berpikir kritis, bagaimana agar teknologi itu terus berkembang sejalan dengan
berkembangnya ilmu matematika. Pengolahan angka-angka dalam matematika
membentuk suatu rumus pemrograman yang digunakan dalam pengembangan ilmu
komputer.
Teknik informatika dan matematika sangat erat
hubungannya. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan
di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh
karena itu, matematika sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan
dalam majunya teknik informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan
software tersebut menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua
disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat
diguanakan untuk mempermudah aktivitas kita. Disamping itu, untuk membuat suatu
pemrograman di komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu
sendiri adalah langkah sistematis yang mengikuti kaidah logika.
Perkembangan ilmu matematika itu sendiri sebenarnya
memberi umpan balik pada perkembangan teknologi informatika. Perkembangan
teknik informatika juga akan mempermudah pengolahan perhitungan matematika
menjadi lebih sistematis.
D. Penerapan Logika
Matematika Dalam TIK
Beberapa contoh
penerapan Logika matematika dalam teknologi informasi dan computer antara lain
:- Logika Metematika memiliki peran penting dalam bidang elektronika dan computer semisal dalam pembuatan PLC (Programmable Logic Controller) yang merupakan suatu unit khusus dibuat untuk pengontrol berbasis mikroprosesor yang memanfaatkan memori yang dapat diprogram untuk menyimpan instruksi – instruksi dan untuk mengimplementasikan fungsi–fungsi semisal logika, sequencing, pewaktu (Timing), pencacahan (counting) dan aritmatika guna untuk mengontrol mesin – mesin dalam industri
- Penerapan pada sistem digital yang didasari oleh logika matematika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit. Logika matematika (mathematical logic) adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika.
- Penerapan logika matematika dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan syaraf tiruan, dan lainlainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu contoh yang populer adalah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit. Logika Informatika didalam ilmu teknologi informasi berperan sangan penting dan hampir selalu kita temui dalam pengembangan Hardware maupun Software. Contohnya Dalam pengembangan di bidang software, Hampir setiap bahasa pemrograman menggunakan dan menerapkan prinsip-prinsip logika. Oleh karena itu logika informatika bagi dunia Teknologi Informasi merupakan dasar-dasar bagaimana sebuah Hardware atau Software itu dibuat.
- Perkembangan terakhir ilmu logika adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya.
E. PENUTUP
Dari
penjabaran diatas bisa disimpulkan
mengenai peran penting logika matematika dalam informatika dan ilmu komputer.
Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas
dari penerapan ilmu logika matematika. Di Indonesia sendiri ilmu komputer lebih
populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi Informasi.
DAFTAR PUSTAKA
https://nilawidhianti.wordpress.com/2009/12/02/3/diunduhtanggal 21-02-2016/jam01.30wib
http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/09/logika-matematika-pengertian-dan.html/diunduh tanggal 21-02-2016-jam 01.10wib
