ANALISIS KURIKULUM PENDIDIKAN MATEMATIKA

http://erickputrabrebestea.blogspot.com/

ANALISIS KURIKULUM MATEMATIKA 

a. Matematika tradisional (Ilmu Pasti)

Setelah Indonesia terlepas dari penjajahan kolonial, pemerintah berbenah diri menyusun program pendidikan. Matematika diletakkan sebagai salah satu mata pelajaran wajib. Saat itu pembelajaran matematika lebih ditekankan pada ilmu hitung dan cara berhitung. Kekhasan lain dari pembelajaran matematika tradisional adalah bahwa pembelajaran lebih menekankan hafalan dari pada pengertian, menekankan bagaimana sesuatu itu dihitung bukan mengapa sesuatu itu dihitungnya demikian, lebih mengutamakan kepada melatih otak bukan kegunaan, bahasa/istilah dan simbol yang digunakan tidak jelas, urutan operasi harus diterima tanpa alasan, dan seterusnya.

Sementara itu cabang matematka yang diberikan di sekolah menengah pertama adalah aljabar dan Ilmu ukur (geometri) bidang. Geometri ini diajarkan secara terpisah dengan geometri ruang selama tiga tahun. Sedangkan yang diberikan di sekolah menengah atas adalah aljabar, geometri ruang, goneometri, geometri lukis, dan sedikit geometri analitik bidang. Geometri ruang tidak diajarkan serempak dengan geometri ruang, geomerti lukis adalah ilmu yang kurang banyak diperlukan dalam kehidupan sehingga menjadi abstrak dikalangan siswa.

b. Pembelajaran Matematika Modern

Pengajaran matematika modern resminya dimulai setelah adanya kurikulum 1975. Model pembelajaran matematika modern ini muncul karena adanya kemajuan teknologi. W. Brownell mengemukakan bahwa belajar matematika harus merupakan belajar bermakna dan berpengertian. Teori ini sesuai dengan teori Gestalt yang muncul sekitar tahun 1930, dimana Gestalt menengaskan bahwa latihan hafal atau yang sering disebut drill adalah sangat penting dalam pengajaran namun diterapkan setelah tertanam pengertian pada siswa.

 Dua hal tersebut di atas memperngaruhi perkembangan pembelajaran matematika di Indonesia. Berbagai kelemahan seolah nampak jelas, pembelajaran kurang menekankan pada pengertian, kurang adanya kontinuitas, kurang merangsang anak untuk ingin tahu, dan lain sebagainya.

c. Kurikulum Matematika 1984

Pembelajaran matematika pada era 1980-an merupakan gerakan revolusi matematika kedua, walaupun tidak sedahsyat pada revolusi matematika pertama atau matematika modern. Revolusi ini diawali oleh kekhawatiran negara maju yang akan disusul oleh negara-negara terbelakang saat itu, seperti Jerman barat, Jepang, Korea, dan Taiwan. Pengajaran matematika ditandai oleh beberapa hal yaitu adanya kemajuan teknologi muthakir seperti kalkulator dan komputer.

 Di dalam negeri, tahun 1984 pemerintah melaunching kurikulum baru, yaitu kurikulum tahun 1984. Alasan dalam menerapkan kurikulum baru tersebut antara lain, adanya sarat materi, perbedaan kemajuan pendidikan antar daerah dari segi teknologi, adanya perbedaan kesenjangan antara program kurikulum di satu pihak dan pelaksana sekolah serta kebutuhan lapangan dipihak lain, belum sesuainya materi kurikulum dengan tarap kemampuan anak didik. Dan, CBSA (cara belajar siswa aktif) menjadi karakter yang begitu melekat erat dalam kurikulum tersebut.

d. Kurikulum Tahun 1994

Kegiatan matematika internasional begitu marak di tahun 90-an. walaupun hal itu bukan hal yang baru sebab tahun tahun sebelumnya kegiatan internasional seperti olimpiade matematika sudah berjalan beberapa kali.

Dalam kurikulm tahun 1994, pembelajaran matematika mempunyai karakter yang khas, struktur materi sudah disesuaikan dengan psikologi perkembangan anak, materi keahlian seperti komputer semakin mendalam, model-model pembelajaran matematika kehidupan disajikan dalam berbagai pokok bahasan. Intinya pembelajaran matematika saat itu mengedepankan tekstual materi namun tidak melupakan hal-hal kontekstual yang  berkaitan dengan materi. Soal cerita menjadi sajian menarik disetiap akhir pokok bahasan, hal ini diberikan dengan pertimbangan agar siswa mampu menyelesaikan permasalahan kehidupan yang dihadapi sehari-hari.

e. Kurikulum tahun 2004

Setelah beberapa dekade dan secara khusus sepuluh tahun berjalan dengan kurikulum 1994, pola-pola lama bahwa guru menerangkan konsep, guru memberikan contoh, murid secara individual mengerjakan latihan, murid mengerjakan soal-soal pekerjaan rumah hanya kegiatan rutin saja disekolah, sementara bagaimana keragaman pikiran siswa dan kemampuan siswa dalam mengungkapkan gagasannya kurang menjadi perhatian.

Tahun 2004 pemerintah melaunching kurikulum baru dengan nama kurikulum berbasis kompetesi. Secara khusus model pembelajaran matematika dalam kurikulum tersebut mempunyai tujuan antara lain;

1) Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkankesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi

2) Mengembangkan aktifitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.

3) Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah

Mengembangkan kewmapuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, diagram, dalam menjelaskan gagasan.

Kompetensi

Kurikulum berbasis kompetensi diharapkan dapat menciptakan lulusan yang kompeten dan cerdas dalam membangun identitas, budaya, serta bangsanya. Hal ini didasarkan pada pandangan bahwa kompetensi dalam kurikulum dikembangkan dengan maksud untuk memberikan keterampilan dan keahlian daya saing serta berdaya suai untuk bertahan dalam perubahan, pertentangan, ketidaktentuan, dan kerumitan-kerumitan kehidupan.

C. Pengembangan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP)

Kurikulum adalah seperangkat rencana dan pengaturan mengenai tujuan, isi dan bahan pelajaran serta cara yang digunakan sebagai pedoman penyelenggaraan kegiatan pembelajaran untuk mencapai tujuan pendidikan tertentu. Tujuan tertentu ini meliputi tujuan pendidikan nasional serta kesesuaian dengan kekhasan, kondisi dan potensi daerah, satuan pendidikan dan peserta didik. (BSNP, 2006: 1). Rumusan tersebut mengandung pokok-pokok pikiran sebagai berikut:

1) Kurikulum merupakan suatu rencana/perencanaan

2) Kurikulum merupakan pengaturan, berarti mempunyai sistematika dan struktur tertentu;

3) Kurikulum memuat isi dan bahan pelajaran, menunjuk kepada perangkat mata ajaran atau bidang pengajaran tertentu;

4) Kurikulum mengandung cara, metode, atau strategi penyampaian bahan pengajaran;

5) Kurikulum merupakan pedoman penyelenggaraan kegiatan pembelajaran;

6) Kendatipun tidak tertulis, namun telah tersirat di dalam kurikulum, yakni kurikulum dimaksudkan untuk mencapai tujuan pendidikan;

7) Berdasarkan butir 6, maka kurikulum sebenarnya merupakan alat pendidikan.

KTSP adalah kurikulum operasional yang disusun oleh dan dilaksanakan di masing-masing satuan pendidikan. KTSP terdiri dari tujuan pendidikan tingkat satuan pendidikan, struktur dan muatan kurikulum tingkat satuan pendidikan, kalender pendidikan, dan silabus.

Undang-undang Republik Indonesia Nomor 20 tahun 2003 pasal 3 menyatakan: “Pendidikan nasional berfungsi mengembangkan kemampuan dan membentuk watak serta peradaban bangsa yang bermartabat dalam rangka mencerdaskan kehidupan bangsa, bertujuan untuk berkembangnya potensi peserta didik agar menjadi manusia yang beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, berakhlak mulia, sehat, berilmu, cakap, kreatif, mandiri, dan menjadi warga negara yang demokratis serta bertanggung jawab”.

Standar nasional pendidikan terdiri atas: standar isi (SI), standar proses, standar kompetensi lulusan (SKL), standar tenaga kependidikan, standar sarana dan prasarana, standar pengelolaan, standar pembiayaan, dan standar penilaian pendidikan. Dua dari standar nasional pendidikan tersebut, yaitu Standar Isi (SI) dan Standar Kompetensi Lulusan (SKL) merupakan acuan utama bagi satuan pendidikan dalam pengembangan KTSP (BSNP, 2006:1).

Prinsip-Prinsip Pengembangan KTSP

Terkait dengan pengembangan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan, terdapat sejumlah prinsip-prinsip yang harus dipenuhi (BSNP, 2006: 5 – 7), yaitu :

1.      Berpusat pada potensi, perkembangan, kebutuhan, dan kepentingan peserta didik dan lingkungannya.

2.      Beragam dan terpadu. Kurikulum dikembangkan dengan memperhatikan keragaman karakteristik peserta didik, kondisi daerah, dan jenjang serta jenis pendidikan, tanpa membedakan agama, suku, budaya dan adat istiadat, serta status sosial ekonomi dan gender.

3.      Tanggap terhadap perkembangan ilmu pengetahuan, teknologi, dan seni.

4.      Relevan dengan kebutuhan kehidupan.

5.      Menyeluruh dan berkesinambungan.

6.      Belajar sepanjang hayat.

7.      Seimbang antara kepentingan nasional dan kepentingan daerah.

Pemenuhan prinsip-prinsip di atas itulah yang membedakan antara penerapan satu kurikulum tingkat satuan pendidikan dengan kurikulum sebelumnya, yang justru tampaknya sering kali terabaikan. karena prinsip-prinsip itu boleh dikatakan sebagai ruh atau jiwanya kurikulum dalam mensikapi suatu perubahan kurikulum, banyak orang lebih terfokus hanya pada pemenuhan struktur kurikulum sebagai jasad dari kurikulum . padahal jauh lebih penting adalah perubahan kutural (perilaku) guna memenuhi prinsip-prinsip khusus yang terkandung dalam pengembangan kurikulum.

MATEMATIKA SEKOLAH

A. Hakikat Matematika dan Matematika Sekolah

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia.

Standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika dalam dokumen ini disusun sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan tersebut di atas. Selain itu dimaksudkan pula untuk mengembangkan kemampuan menggunakan matematika dalam pemecahan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain.

B. Tujuan Pembelajaran Matematika Sekolah

Berdasarkan PERMENDIKNAS No. 22 Tahun 2006, Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan berikut:

1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah.

2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika

3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan

solusi yang diperoleh

4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah

5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

C. Hubungan Muatan Antar KD dan SK Pelajaran Matematika

Standar Isi (SI) untuk satuan dikdasmen pada suatu mata pelajaran mencakup lingkup materi minimal dan tingkat kompetensi minimal untuk mencapai kompetensi lulusan minimal pada jenjang dan jenis pendidikan tertentu dan hal itu tercantum pada lampiran Permendiknas Nomor 22 tahun 2006. Pada SI mata pelajaran matematika dimuat daftar SK dan KD yang harus dikuasai siswa.

Hal itu mengakibatkan bahwa kompetensi-kompetensi matematika yang dipelajari saling terkait dan tersusun secara hirarkis. Oleh karena itu kita harus memahami bagaimana keterkaitan antar KD yang dipelajari oleh siswa.

Pemahaman tentang keterkaitan antar KD akan mempermudah guru dalam mengarahkan siswa dalam belajar, baik untuk siswa yang cepat dalam belajar maupun siswa yang lambat dalam belajar. Guru yang paham terhadap keterkaitan muatan antar KD matematika akan:

1) mudah mengarahkan siswanya yang cepat dalam belajar sehingga dapat efisien dalam mempelajari KD-KD dan akhirnya kemampuan minimal dan pengayaan yang dikuasai siswa dapat optimal.

2) mudah membimbing siswanya yang lambat dalam belajar sehingga dapat efisien dalam mempelajari KD-KD dan akhirnya kemampuan minimal akan dikuasai siswa.

3) mudah dalam melakukan diagnosa kesulitan belajar siswa dan memberikan pelayanan remedial.

D. Muatan Standar Kompetensi Lulusan (SKL) Mata Pelajaran Matematika

SKL untuk satuan dikdasmen disahkan dengan Permendiknas Nomor 23 Tahun 2006. SKL digunakan sebagai pedoman penilaian dalam menentukan kelulusan peserta didik. SKL yang ada pada Permendiknas Nomor 23 Tahun 2006 adalah SKL minimal satuan dikdasmen, SKL minimal kelompok mata pelajaran dan SKL minimal mata pelajaran. 

 

 

(sumber diambil dari:http://nurlinalina.blogspot.co.id/2012/03/analisis-kurikulum-matematika-tugas.html)

                        SEJARAH TENTANG TEORI GRAF

Oleh   :Erick Putra Runthgun

.             A. LATAR BELAKANG

       Graph merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang merepresentasikan objek - objek diskrit dan hubungan antara objek – objek tersebut. Representasi visual dari graph adalah dengan menyatakan obyek dengan noktah dan hubungan antara objeknya dengan garis. Untuk selanjutnya kita sebut noktah pada graph sebagai simpul (vertex) dan garis pada graph sebagai sisi (edge).

      Teori graph merupakan sebuah pokok bahasan yang muncul pertama kali pada tahun 1736, yakni ketika Leonhard Euler mencoba untuk mencari solusi dari permasalahan yang sangat terkenal yaitu Jembatan Königsberg. Di kota Königsberg (sebelah timur Prussia, Jerman sekarang), sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai.                                                             

        Konigsberg, sebuah kota di bagian utara Jerman, memiliki  sebuah  kisah  terkenal yang memberikan pengaruh besar pada kehidupan seorang  bernama  Euler  dan  sejarah perkembangan teori Graph. Sungai Pregel yang melalui Konigsberg membagi wilayah daratan pada kota tersebut menjadi empat bagian. Tujuh buah jembatan dibangun di atas sungai tersebut pada bagian yang memungkinkan untuk bepergian antar keempat wilayah tersebut. Pada abad ke-17, warga Konigsberg gemar berjalan di tepi sungai, hingga  akhirnya  beberapa  dari  mereka memikirkan apakah mungkin untuk berjalan di Konigsberg dan melalui setiap jembatan hanya sekali. Hal inilah yang kemudian disebut Teka-Teki Jembatan Konigsberg yang tidak dapat terselesaikan untuk waktu yang cukup lama dan menjadi terkenal di seluruh negeri.

Teka-teki tersebut menarik perhatian Euler, yang diyakini ketika itu berada di St. Petersburg.  Ia kemudian meneliti  bahwa  kasus  tersebut  dapat direpsersentasikan dalam sebuah diagram. Setelah  sekian  banyak  kegagalan  warga Konigsberg untuk menemukan cara melalui seluruh jembatan hanya sekali, hingga akhirnya pada tahun 1736 masalah tersebut dijadikan sebuah kasus matematika dan kemustahilan untuk menyelesaikan teka-teki tersebut terbukti.

B. PEMBAHASAN

        Masalah jembatan Königsberg ini adalah, mungkinkah melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? Kemudian tahun 1736 seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan memodelkan masalah ini ke dalam graph. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan) dinyatakan sebagai titik (noktah) yang disebut simpul atau titik (vertex) dan jembatan dinyatakan sebagai garis-garis yang disebut sisi atau garis (edge).Euler memberi permisalan daratan sebagai sebuah titik, setiap titik diberi label A, B, C, dan D.

        Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula, karena pada graph model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap (derajat sebuah simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul yang bersangkutan).
Teori graph merupakan salah satu pokok bahasan yang sudah sangat tua usianya tetapi memiliki banyak terapan praktis hingga saat ini. Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan sisi atau garis.

Dalam kasus jembatan Konigsberg huruf C akan muncul sebanyak tiga kali (BAC, DAC, BDC) karena terdapat lima jembatan yang menyusun jalan menuju C. Kemudian, karena tiga jembatan menyusun jalan menuju A, maka A akan muncul sebanyak dua kali (CDA, BDA). Dengan cara serupa kita dapatkan bahwa kemunculan B dan D juga dua kali. Maka dalam kombinasi delapan huruf sebagai solusi dengan kemunculan huruf ,C dan D sebanyak masing-masing dua kali, ternyata kombinasi seperti itu tidak mungkin ada, sehingga kesimpulannya adalah bahwa teka-teki Konigsberg adalah mustahil.

1. Analisis Euler

Pertama, Euler menunjukkan bahwa pilihan rute di dalam setiap daratan tidak relevan. Satu-satunya fitur penting dari rute adalah urutan jembatan menyeberang. Hal ini memungkinkan dia untuk merumuskan masalah dalam hal abstrak (meletakkan dasar-dasar teori graph ), menghilangkan semua fitur kecuali daftar massa tanah dan jembatan yang menghubungkan mereka. Dalam istilah modern, masing-masing satu menggantikan massa tanah dengan sebuah "abstrak titik "atau node, dan masing-masing jembatan dengan koneksi abstrak, sebuah"tepi ", yang hanya berfungsi untuk merekam yang sepasang simpul (massa tanah) yang dihubungkan dengan jembatan itu. Struktur matematika yang dihasilkan disebut graph.

        Karena hanya informasi koneksi yang relevan, bentuk representasi bergambar grafik mungkin terdistorsi dengan cara apapun, tanpa mengubah grafik itu sendiri. Hanya keberadaan (atau kekurangan) dari tepi antara setiap pasangan node adalah signifikan. Sebagai contoh, tidak masalah apakah tepi digambar lurus atau melengkung, atau apakah satu node adalah ke kiri atau kanan lain.

        Selanjutnya, Euler mengamati bahwa (kecuali pada titik akhir dari berjalan), setiap kali salah satu titik masuk dengan jembatan, satu daun titik dengan jembatan. Dengan kata lain, selama yang berjalan pada grafik, jumlah kali memasuki simpul non-terminal sama dengan berapa kali satu daun itu. Sekarang, jika setiap jembatan dilalui tepat satu kali, itu berarti bahwa, untuk setiap massa tanah (kecuali mungkin untuk yang dipilih untuk mulai dan selesai), jumlah jembatan menyentuh daratan bahkan (setengah dari mereka, pada khususnya traversal, akan dilalui "menuju" daratan tersebut; setengah lainnya, "jauh" dari itu). Namun, keempat massa tanah dalam masalah asli tersentuh oleh ganjil jembatan (satu disentuh oleh 5 jembatan, dan masing-masing tiga lainnya disentuh oleh 3). Karena, paling tidak, dua massa tanah dapat berfungsi sebagai titik akhir dari jalan putatif, proposisi berjalan kaki melintasi jembatan setiap kali mengarah ke kontradiksi.

       Dalam bahasa modern, Euler menunjukkan bahwa kemungkinan berjalan melalui grafik, melintasi setiap sisi tepat satu kali, tergantung padaderajat dari simpul-simpul. Derajat dari sebuah node adalah jumlah edge menyentuhnya. argumen Euler menunjukkan bahwa kondisi yang diperlukan untuk berjalan dari bentuk yang diinginkan adalah bahwa grafik dihubungkan dan memiliki tepat nol atau dua simpul berderajat ganjil. Kondisi ini ternyata juga cukup-hasil dinyatakan oleh Euler dan kemudian dibuktikan oleh Carl Hierholzer . Seperti jalan-jalan sekarang disebut jalur Euler atau jalan  Euler  untuk menghormatinya. Selanjutnya, jika ada node derajat ganjil, maka setiap path Euler akan dimulai pada salah satu dari mereka dan berakhir pada yang lain. Karena grafik yang sesuai dengan Königsberg historis memiliki empat node derajat aneh, ia tidak dapat memiliki jalur Euler.

       Alternatif bentuk masalah meminta jalan yang melintasi semua jembatan dan juga memiliki sama titik awal dan akhir. Seperti berjalan-jalan disebut sirkuit Euler atau tur Euler. Seperti sebuah sirkuit ada jika, dan hanya jika, grafik tersambung, dan tidak ada node derajat aneh sama sekali. Semua sirkuit Euler juga jalur Euler, tetapi tidak semua jalan Euler adalah sirkuit Euler.

Hasil analisa Euler, pada tanggal 2 Agustus 1735 disampaikan kepada St Petersburg Academy dan diterbitkan sebagai geometriam problematis solutio situs iklan pertinentis ( pemecahan masalah yang berkaitan dengan geometri posisi) di Commentarii scientiarum academiae Petropolitanae jurnal pada 1741.

     2.    Solusi Euler

Untuk membuktikan hasilnya, Euler memformulakan masalah itu dalam teori graf, dengan menganalogikan pada kasus Königsberg. Pertama, dengan mengeliminasi  semua fitur kecuali daratan dan jembatan yang menghubungkannya; kedua, dengan mengganti daratan dengan titik, disebut simpul(vertex) dan tiap jembatan dengan garis. Disebut sisi (edge). Hasil struktur matematikanya disebut graph. Bentuk dari graph dapat diubah-ubah dalam berbagai cara tanpa mengubah graph itu sendiri, selama sisi dari simpul tidak diubah. Tidak bermasalah antara sisi yang berbentuk lurus atau lengkung, atau simpul yang terletak di sisi kiri atau kanan sisi lainnya. Euler menyadari bahwa masalah itu dapat diselesaikan berdasarkan derajat dari simpul–simpulnya. Derajat dari tiap simpul adalah jumlah sisi yang bersinggungan dengannya, pada graph jembatan Königsberg, tiga simpul mempunyai derajat 3 dan salah satu berderajat 5. Euler menunjukkan sirkuit yang kita inginkan hanya mungkin jika tidak ada simpul yang berderajat negatif. Cara perjalanan itu disebut sirkuit euler. Karena graph Königsberg ini mempunyai 4 simpul yang berderajat ganjil maka graph ini tidak mempunyai sirkuit euler.

Masalah ini dapat dikembangkan seperti berikut ini, ketika kita diminta untuk menyusun rute yang melintasi semua jembatan tapi tidak perlu punya titik mula dan akhir yang sama. Lintasan ini disebut lintasan Euler. Lintasan ini dimungkinkan ada jika dan hanya jika:

     a)    Graph ini tidak punya simpul yang berderajat ganjil.

     b)   Tepat ada 2 simpul yang berderajat ganjil, dan kedua simpul itu akan menjadi titil awal dan akhir. (ini juga hal yang mustahil untuk graph jembatan Königsberg).

3. Signifikasi dalam sejarah matematika

Pada sejarah perkembangan matematika, solusi Euler tentang jembatan Königsberg dianggap sebagai teorema pertama dari teori graph, yang sekarang digeneralisasi sebagai cabang ilmu kombinatorial (meskipun masalah kombinatorial telah ditemukan sebelumnya). Sebagai tambahan, sesuai pengakuan Euler bahwa kuncinya  terletak pada jumlah jembatan dan daftar dari titik akhirnya (lebih dari posisi aslinya) ditandai dengan perkembangan topologi. Perbedaan antara layout nyata dan skema graph adalah contoh yang bagus dari ide bahwa topologi tidak berpatokan pada bentuk asli benda.

4.  Keadaan jembatan  Konigsberg  sekarang

Dua dari tujuh jembatan asli hancur saat pengeboman sekutu ke Königsberg pada Perang Dunia II. Dua lainnya dirusak oleh Rusia dan diganti dengan jembatan modern.Tinggal 3 lainnya yang tersisa, meskipun hanya ada 2 yang berasal dari masa Euler (salah satu dibangun ulang oleh Jerman pada 1935). Menurut teori graph, dua dari simpul sekarang mempunyai derajat 2, dan 2 lainnya punya derajat 3. Karena itu, sekarang lintasan Euler mungkin dapat dibentuk, tapi karena harus dimulai dari sebuah pulau dan berakhir pada pulau yang berbeda.

5.  Penerapan Teori Graph.

      Secara informal, suatu graph adalah himpunan benda-benda yang ada dalam matematika dan ilmu komputer, teori graph adalah cabang kajian yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge) atau busur (arc). Biasanya graph digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan simpul) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi) atau garis berpanah (melambangkan busur). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang sama. Sisi yang demikian dinamakan gelang (loop).Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graph, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graph. Jaringan persahabatan pada Friendster bisa direpresentasikan dengan graf: simpul-simpulnya adalah para pemakai Friendster dan ada sisi antara A dan B jika dan hanya jika A berteman (berkoinsidensi) dengan B. Perkembangan algoritma untuk menangani graph akan berdampak besar bagi ilmu komputer.

Contoh-Contoh Pemakaian Graph.

 Lintasan Terpendek (Shortest Path)

·         graph berbobot (weighted graph),

·         lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum.

·         Contoh aplikasi:

1.      Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah  antara dua buah kota

2.      Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

·         Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain:

a.         Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

b.         Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

c.         Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.

d.        Lintasan terpendek abtara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.

Persoalan Perjalanan Pedagang (Travelling Salesperson Problem - TSP)

Diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962.

Masalahnya adalah sebagai berikut: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan.

       C.      KESIMPULAN

Teka-teki jembatan Konigsberg adalah mustahil. Teka-Teki Jembatan Konigsberg telah membuka jalan bagi terciptanya teorema baru yang disebut teorema graph. Aplikasi teorema graph menganalogikan setiap jembatan sebagai sisi dan setiap daratan sebagai simpul pada graph, sehingga terbentuk sebuah graph lengkap. Dan dengan memperhitungkan derajat dari setiap simpul yang terdapat dalam graph, menggunakan metode yang diungkapkan dalam pembuktian di atas, kita akan dapat  mengetahui  apakah  graph tersebut merupakan suatu lintasan di mana setiap sisi dilalui hanya satu kali saja. Fakta bahwa teorema graph lahir ketika Euler menyelesaikan masalah berdasarkan Teka-Teki Jembatan Konigsberg menyatakan hubungan tersendiri antara jaringan spasial (seperti jalur transportasi) dengan graph.

LOGIKA MATEMATIKA DAN PENERAPANNYA DALAM DISIPLIN ILMU INFORMATIKA

Kumpulan Tugas MPMT.5103

LOGIKA MATEMATIKA  DAN PENERAPANNYA

DALAM DISIPLIN ILMU INFORMATIKA

ERIS HERIYONO

NIM.500638753

UPBJJ BANDUNG

MPMT.5103

Alamat e-mail :smpsimpatik2@gmail.com  & erisheriyono@gmail.com

JURNAL MINGGUAN

Minggu 1:29 Januari -04 Februari 2016

            ABSTRAKSI

            Dalam tulisan jurnal mingguan ini, yang merupakan  tugas yang harus ditempuh mahasiswa jurusan

            Magister  Pendidikan Matematika Full Online ,akan dibahas berbagai pendapat tentang arti dan definisi

            matematika menurut para ahli,juga tentang kaitanya logika matematika ,peranan dan  penerapanya

            dalam disiplin ilmu lainya terutama ilmu informatika dari logika matematika sampai pada logika fuzzy

            atau logika kabur yang telah memberi  ruang baru pada perkembangan ilmu informatika.

Kata Kunci : definisi matematika, Logika matematika, penerapan, ilmu informatika 

        ABSTRACTION

        Writing in the weekly journal , which is a task that must be taken by

        students majoring in Master in Mathematics Education Full Online ,

        will discuss various opinions about the meaning and definition of

        mathematics , according to experts , about the relation of

        mathematical logic , the role and applicability in the disciplines of

        others , especially the science of informatics of mathematical logic

        until the fuzzy logic or fuzzy logic that has given a new room on the

        development of informatics .

Keywords : definition of mathematics , mathematical logic , application , science informatics

A.  Latar Belakang

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.

Terjadi perdebatan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik sudah ada di semesta, jadi ditemukan, atau ciptaan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".Namun, walau matematika pada kenyataannya sangat bermanfaat bagi kehidupan, perkembangan sains dan teknologi, sampai upaya melestarikan alam, matematika hidup di alam gagasan, bukan di realita atau kenyataan. Dengan tepat, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan." Makna dari "Matematika tak merujuk kepada kenyataan" menyampaikan pesan bahwa gagasan matematika itu ideal dan steril atau terhindar dari pengaruh manusia. Uniknya, kebebasannya dari kenyataan dan pengaruh manusia ini nantinya justru memungkinkan penyimpulan pernyataan bahwa semesta ini merupakan sebuah struktur matematika, menurut Max Tegmark. Jika kita percaya bahwa realita di luar semesta ini haruslah bebas dari pengaruh manusia, maka harus struktur matematika lah semesta itu.

Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis mewujud dalam kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi matematika yang ketat pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Tiongkok pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.^[7]

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

    Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri. Mereka berupaya menjawab pertanyaan-pertanyaan yang muncul di dalam pikirannya, walaupun belum diketahui penerapannya. Namun, kenyataannya banyak sekali gagasan matematika yang sangat abstrak dan tadinya tak diketahui relevansinya dengan kehidupan, mendadak ditemukan penerapannya. Pengembangan matematika (murni) dapat mendahului atau didahului kebutuhannya dalam kehidupan. Penerapan praktis gagasan matematika yang menjadi latar munculnya matematika murni seringkali ditemukan kemudian.

B.   Apa Logika Matematika itu ?

Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

Setelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di bawah ini:

a.   Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertutup dan terbuka. Kalimat pernyataan dibagi menjadi 2 yaitu :

a.1. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.

a.2. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:

• 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
• 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
• Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
• Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)

b.   Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

      Pernyataan p             : Becak memiliki roda tiga buah

Negasi dari pernyataan p : Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah

c.   Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

c.1. Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:

p	q	P ^ q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B	S	S	Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S	B	S	Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.

c.2. Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B	S	B	Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S	B	B	Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

d.   Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

p	q	p => q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

e.   Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

p	q	p ó q	Logika matematika
B	B	B	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	S	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

f.   Ekuivalensi pernyataan majemuk

Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:

g.   Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini:

h.   Kuantor pernyataan

Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.

h.1. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.

h.2. Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

i.    Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini:

j.    Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:

C.   Peranan Logika Matematika dalam Perkembangan Teknologi Informatika dan Komunikasi

Sifat manusia yang selalu tidak merasa puas mendorong mereka untuk terus mendapatkan sesuatu yang terbaik, salah satunya di bidang teknologi. Hal tersebut menuntut kita untuk lebih mengembangkan apa yang ada di sekitar kita, termasuk mengembangkan teknologi. Di era globalisasi ini hampir semua aktivitas manusia tidak lepas dari penggunaan teknologi. Selain karena alasan lebih praktis, efisiensi waktu juga menjadi alasan penggunaan teknologi dalam aktivitas manusia. Hal tersebut mendorong manusia untuk berpikir kritis untuk melengkapi seluruh kebutuhannya.

Matematika dikenal sebagai ilmu dasar. Pembelajaran matematika akan melatih kemampuan berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. Tetapi peran matematika tidak hanya sebatas hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi ataupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika. Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat di jaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika. Tetapi kemajuan ilmu fisika itu sendiri tidak akan tercapai tanpa peran matematika dan perkembangan matematika itu sendiri.

Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan sumbangsih tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika, diantaranya adalah operasi Aljabar Boolean, teori graf, matematika diskrit, logika simbolik, peluang dan statistika. Teknologi yang semakin berkembang ini menunjukkan perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematika dalam mengembangkan bidang lain.

Salah satu contohnya adalah penerapan matematika diskrit dalam pengembangan teknologi komputer. Matematika diskrit adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya – Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer.

Contoh lainnya adalah dalam perkembangan memori. Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang belum berbentuk biner akan dipecahkan (encoded) dengan sejumlah instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka.

Selain itu matematika mengajarkan kita untuk berpikir kritis, bagaimana agar teknologi itu terus berkembang sejalan dengan berkembangnya ilmu matematika. Pengolahan angka-angka dalam matematika membentuk suatu rumus pemrograman yang digunakan dalam pengembangan ilmu komputer.

Teknik informatika dan matematika sangat erat hubungannya. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk mempermudah aktivitas kita. Disamping itu, untuk membuat suatu pemrograman di komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu sendiri adalah langkah sistematis yang mengikuti kaidah logika.

Perkembangan ilmu matematika itu sendiri sebenarnya memberi umpan balik pada perkembangan teknologi informatika. Perkembangan teknik informatika juga akan mempermudah pengolahan perhitungan matematika menjadi lebih sistematis.

D. Penerapan Logika Matematika  Dalam TIK

Beberapa contoh penerapan Logika matematika dalam teknologi informasi dan computer antara lain :

• Logika Metematika memiliki peran penting dalam bidang elektronika dan computer semisal dalam pembuatan PLC (Programmable Logic Controller) yang merupakan suatu unit khusus dibuat untuk pengontrol berbasis mikroprosesor yang memanfaatkan memori yang dapat diprogram untuk menyimpan instruksi – instruksi dan untuk mengimplementasikan fungsi–fungsi semisal logika, sequencing, pewaktu (Timing), pencacahan (counting) dan aritmatika guna untuk mengontrol mesin – mesin dalam industri
• Penerapan pada sistem digital yang didasari oleh logika matematika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit. Logika matematika (mathematical logic) adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika.
• Penerapan logika matematika dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan syaraf tiruan, dan lainlainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu contoh yang populer adalah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit. Logika Informatika didalam ilmu teknologi informasi berperan sangan penting dan hampir selalu kita temui dalam pengembangan Hardware maupun Software. Contohnya Dalam pengembangan di bidang software, Hampir setiap bahasa pemrograman menggunakan dan menerapkan prinsip-prinsip logika. Oleh karena itu logika informatika bagi dunia Teknologi Informasi merupakan dasar-dasar bagaimana sebuah Hardware atau Software itu dibuat.
• Perkembangan terakhir ilmu logika adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya.

E.   PENUTUP

Dari penjabaran diatas  bisa disimpulkan mengenai peran penting logika matematika dalam informatika dan ilmu komputer. Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas dari penerapan ilmu logika matematika. Di Indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi Informasi.

DAFTAR PUSTAKA

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika/diunduh tanggal 20-02-2016.jam24.45wib

https://nilawidhianti.wordpress.com/2009/12/02/3/diunduhtanggal 21-02-2016/jam01.30wib

http://www.kearsipan.com/?p=261/diunduh tanggal 21-02-2016/jam 02.20.wib

http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/09/logika-matematika-pengertian-dan.html/diunduh tanggal 21-02-2016-jam 01.10wib